Urodził się w Belfaście i tam zaczynał karierę literacką jako dramaturg. Po przeprowadzce do Londynu pisał scenariusze do seriali komediowych, następnie zaś opowiadania. Utwory McVeigha były publikowane w licznych periodykach literackich i antologiach, adaptowane na audycje w BBC Radio 4 i BBC Radio 5. W kwietniu 2015r. ukazała się debiutancka powieść autora „The Good Son”. Laura van den Berg nazwała McVeigha „szalenie ważnym nowym talentem”, a zdobywca Pulitzera Robert Olen Butler opisał jego prozę jako „dzieło geniuszu”. McVeigh jest dyrektorem London Short Story Festival i wicedyrektorem Word Factory, wiodącego brytyjskiego salonu literackiego poświęconego opowiadaniu.